Условия равновесия тела в потенциальном поле

Энциклопедия по машиностроению XXL Оборудование, материаловедение, механика и Статьи Чертежи Таблицы О сайте Реклама. Устойчивость равновесия в потенциальном поле Рассмотрим теперь вопрос о потенциальных ямах и потенциальных барьерах , которые могут иметь место при движении системы в потенциальном поле. Эти понятия тесно связаны с тем фактом, что положения равновесия таких систем могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми.

4.6. Условия равновесия механической системы

Связь эту удобно продемонстрировать на простейшем примере , представленном на рис. Теорема об изменении кинетической энергии дает возможность определить достаточное условие устойчивости равновесия материальной точки в потенциальном поле сил. Вопрос о необходимых условиях устойчивости равновесия не разъяснен еще в общем виде. Мы возвратимся к этим вопросам далее — в динамике системы. Сначала рассмотрим свободные колебания системы в консервативном силовом поле.

В этом случае движение системы полностью определяется выражениями ее кинетической и потенциальной энергий. При этом для твердого тела величина потенциальной энергии в однородном поле тяготения определяется только положением центра тяжести тела. Даже в том случае, когда линейное приблин ение дает устойчивость, точное поле мон малые колебания около положения, где потенциальная энергия V имеет минимум.

Равновесие в этом случае, как известно, устойчиво гл. Для потенциальной кривой , изображенной на рисунке 6. Положению устойчивого равновесия бруска В рис. При повороте шара D рис. Во-первых, устойчивость по первому приближению еще не означает устойчивости при рассмотрении точных уравнений гл. Кроме того, в этом случае мы лишены возможности вывести суждение об устойчивости из интеграла энергии , как это мы делали в теории малых колебаний гл.

Во-вторых, если система устойчива при рассмотрении точных уравнений, а также в первом приближении , то это связано с влиянием линейных членов Ti в выражении для L. Благодаря им в уравнениях движения появляются гироскопические члены. При отсутствии слагаемых мы имели бы задачу о движении в поле консервативных сил, а для такого поля потенциальная функция в точках Ni и имеет максимум, и эти точки являются положениями неустойчивого равновесия.

Нам уже известны некоторые вариационные принципы принцип Гамильтона и принцип Мопертюи были введены в разд. Мы знаем также, что в состоянии устойчивого механического равновесия должна быть минимальна потенциальная энергия , в термодинамической системе при постоянных объеме и температуре минимальна свободная энергия и т.

Поэтому естественно выбрать в качестве функционала, используемого при расчетах полей, интеграл от величины, имеющей размерность энергии. Теорин устойчивости посвящена большая литература см.

Ильяшенко, Обыкновенные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техн. ВИНИТИ, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, , 1.

Ниже кратко рассмотрены только некоторые результаты этой теории, позволяющие судить об устойчивости на основании изучения нормальных форм. Описаны также результаты, связанные с проблемой обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия в потенциальном поле. Если такая система находится в консервативном силовом поле , то устойчивость равновесия системы определяется согласно теореме Лагранжа — Дирихле или теоремам Ляпунова.

Теорема Лагранжа —-Дирихле гласит если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то положение равновесия устойчиво.

Покажем, что при наличии минимума потенциальной энергии можно найти определенное множество начальных условий , при которых координаты и скорость точки во время ее движения остаются ограниченными по абсолютной величине. Этим будет доказано, что точка поля, в которой потенциальная энергия имеет мини. Последнее вытекает из условия устойчивости положения равновесия , сформулированного в теореме Лагранжа —Дирихле если для материальной системы , находящейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным и стационарным связям , потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым.

Условия равновесия в этом случае будут совпадать с математическими условиями определения максимума или минимума функции и. Как будет показанЬ, частица притягивается к точкам минимума амплитуды стоячей волны дс рис. В результате если при отсутствии осцилляции поля частица имела некоторые положения устойчивого равновесия , то прн его наличии эти положения определенным образом сместят СЯ по нахфввлению к указанным точкам минимума функции Ч х.

Маятник с прямолинейно вибрирующей осью подвеса можно рассматривать как частный случай такой системы. Волее того, можно пока зать, что если мы имеем состояние устойчивого равновесия , то Ц при этом принимает минимальное значение.

Приведем формулировку теоремы Лагранжа Дирихле если для материальной системы , находя- щейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным стационарным связям , потенциальная энергия в положении равновесия системы имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво. Поэтому важное значение имеет теорема Лагранжа —Дирихле, устанавливающая достаточные условия устойчивости положения равновесия системы.

Теорема утверждает, для устойчивости положения равновесия системы, подчиненной голономным, идеальным, стационарным и неосвобождающим связям и находящейся в стационарном потенциальном силовом поле , достаточно, чтобы потенциальная энергия в положении равновесия имела изолированный относительный минимум.


Коментарии:

    Уфа, почтовый ящик Первый член описывает отталкивание атомов на малых расстояниях молекула сопротивляется сжатию , второй — притяжение на больших расстояниях молекула сопротивляется разрыву.





2016-2017 edistatesting.com